Qu'est-ce que loi exponentielle ?

La loi exponentielle est une loi de probabilité continue qui décrit la durée d'attente entre deux événements successifs dans un processus de Poisson où les événements se produisent de façon indépendante et à un taux moyen constant. Elle est souvent utilisée pour modéliser la durée de vie d'un équipement, le temps d'attente à un guichet ou la durée d'une panne.

Définition et Paramètres:

La loi exponentielle est caractérisée par un seul paramètre, λ (lambda), qui représente le taux d'occurrence des événements. λ est également l'inverse de l'espérance mathématique de la distribution (λ = 1/E(X)).

Fonction de Densité de Probabilité (PDF):

La fonction de densité de probabilité est donnée par :

f(x) = λ * e<sup>-λx</sup> pour x ≥ 0 f(x) = 0 pour x < 0

Fonction de Répartition (CDF):

La fonction de répartition est donnée par :

F(x) = 1 - e<sup>-λx</sup> pour x ≥ 0 F(x) = 0 pour x < 0

Espérance et Variance:

  • Espérance (E(X)): E(X) = 1/λ
  • Variance (Var(X)): Var(X) = 1/λ<sup>2</sup>

Propriété d'Absence de Mémoire (Memoryless Property):

Une propriété clé de la loi exponentielle est son absence de mémoire. Cela signifie que la probabilité qu'un événement se produise dans le futur ne dépend pas de la durée pendant laquelle il a déjà duré. Mathématiquement :

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

Applications:

  • Fiabilité des équipements
  • Théorie des files d'attente
  • Physique (désintégration radioactive)
  • Télécommunications

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